傅里葉變換課程設計結論

1. 計算機如何實現 傅里葉變換

傅立葉變換
概要介紹
* 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學中確定性問題的應用數學》，科學出版社，北京。 * 傅里葉變換屬於諧波分析。
* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;
* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;
* 離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT)).
基本性質
線性性質
兩函數之和的傅里葉變換等於各自變換之和。數學描述是：若函數f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里葉變換算符\mathcal可經歸一化成為么正算符；
頻移性質
若函數f \left( x\right )存在傅里葉變換，則對任意實數 ω0，函數f(x) e^也存在傅里葉變換，且有\mathcal[f(x)e^]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅里葉變換的作用運算元，平體F表示變換的結果（復函數），e 為自然對數的底，i 為虛數單位\sqrt；
微分關系
若函數f \left( x\right )當|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導函數f'(x)的傅里葉變換存在，則有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導函數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子 − iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^(x)]存在，則\mathcal[f^(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子( − iω)k。
卷積特性
若函數f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數f*g=\int_^ f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數乘積的傅里葉逆變換等於它們各自的傅里葉逆變換的卷積。
Parseval定理
若函數f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_^ f^2 (x)dx = \frac\int_^ |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里葉變換。
傅里葉變換的不同變種
連續傅里葉變換
主條目：連續傅立葉變換
一般情況下,若「傅立葉變換」一詞的前面未加任何限定語，則指的是「連續傅里葉變換」。「連續傅里葉變換」將平方可積的函數f(t) 表示成復指數函數的積分或級數形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt} \int\limits_^\infty F(\omega) e^\,d\omega.
上式其實表示的是連續傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數f(t)表示為頻率域的函數F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數F(ω)表示為時間域的函數f(t)的積分形式。一般可稱函數f(t)為原函數,而稱函數F(ω)為傅里葉變換的像函數,原函數和像函數構成一個傅立葉變換對(transform pair)。
一種對連續傅里葉變換的推廣稱為分數傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。
當f(t)為奇函數(或偶函數)時,其餘弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為餘弦轉換(cosine transform) 或 正弦轉換(sine transform).
另一個值得注意的性質是,當f(t) 為純實函數時,F(−ω) = F(ω)*成立.
傅里葉級數
主條目：傅里葉級數
連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於周期函數，其傅里葉級數是存在的：
f(x) = \sum_^ F_n \,e^ ,
其中Fn 為復振幅。對於實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是實頻率分量的振幅。
離散時間傅里葉變換
主條目：離散時間傅里葉變換
離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆。
離散傅里葉變換
主條目：離散傅里葉變換
為了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數xn 定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下, 使用離散傅里葉變換，將函數 xn 表示為下面的求和形式：
x_n = \frac1 \sum_^ X_k e^{i\frac kn} \qquad n = 0,\dots,N-1
其中Xk是傅里葉振幅。直接使用這個公式計算的計算復雜度為\mathcal(n^2)，而快速傅里葉變換（FFT）可以將復雜度改進為\mathcal(n \log n)。計算復雜度的降低以及數字電路計算能力的發展使得DFT成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。
在阿貝爾群上的統一描述
以上各種傅里葉變換可以被更統一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬於調和分析的范疇。在調和分析中, 一個變換從一個群變換到它的對偶群(al group)。此外，將傅里葉變換與卷積相聯系的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅里葉變換的廣義理論基礎參見龐特里雅金對偶性（英文版）中的介紹。
時頻分析變換
主條目：時頻分析變換
小波變換，chirplet轉換和分數傅里葉轉換試圖得到時間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。
傅里葉變換家族
下表列出了傅里葉變換家族的成員. 容易發現,函數在時(頻)域的離散對應於其像函數在頻(時)域的周期性.反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性.
變換 時間 頻率
連續傅里葉變換 連續, 非周期性 連續, 非周期性
傅里葉級數 連續, 周期性 離散, 非周期性
離散時間傅里葉變換 離散, 非周期性 連續, 周期性
離散傅里葉變換 離散, 周期性 離散, 周期性
傅里葉變換的基本思想首先由法國學者傅里葉系統提出，所以以其名字來命名以示紀念。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
傅立葉變換屬於調和分析的內容。"分析"二字，可以解釋為深入的研究。從字面上來看，"分析"二字，實際就是"條分縷析"而已。它通過對函數的"條分縷析"來達到對復雜函數的深入理解和研究。從哲學上看，"分析主義"和"還原主義"，就是要通過對事物內部適當的分析達到增進對其本質理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質的本源分析為原子，而原子不過數百種而已，相對物質世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認識事物的各種性質提供了很好的手段。
在數學領域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現代數學發現傅立葉變換具有非常好的性質,使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇:
1. 傅立葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元;
2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
3. 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;
4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;
5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅立葉變換演算法(FFT)).
正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
有関傅立葉變換的FPGA実現
傅立葉變換是數字信號處理中的基本操作，廣泛應用於表述及分析離散時域信號領域。但由於其運算量與變換點數N的平方成正比關系，因此，在N較大時，直接應用DFT演算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅立葉變換技術的出現使情況發生了根本性的變化。本文主要描述了採用FPGA來實現2k／4k／8k點FFT的設計方法。
1 整體結構
一般情況下，N點的傅立葉變換對為：
其中，WN＝exp(－2pi／N)。X(k)和x(n)都為復數。與之相對的快速傅立葉變換有很多種,如DIT(時域抽取法)、DIF（頻域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。對於2n傅立葉變換，Cooley－Tukey演算法可導出DIT和DIF演算法。本文運用的基本思想是Cooley－Tukey演算法，即將高點數的傅立葉變換通過多重低點數傅立葉變換來實現。雖然DIT與DIF有差別，但由於它們在本質上都是一種基於標號分解的演算法，故在運算量和演算法復雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優劣之分，所以可以根據需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。
N＝8192點DFT的運算表達式為：
式中，m＝(4n1＋n2)(2048k1＋k2)(n＝4n1＋n2，k＝2048k1＋k2)其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。
由式（3）可知，8k傅立葉變換可由4×2k的傅立葉變換構成。同理，4k傅立葉變換可由2×2k的傅立葉變換構成。而2k傅立葉變換可由128×16的傅立葉變換構成。128的傅立葉變換可進一步由16×8的傅立葉變換構成，歸根結底，整個傅立葉變換可由基2、基4的傅立葉變換構成。2k的FFT可以通過5個基4和1個基2變換來實現；4k的FFT變換可通過6個基4變換來實現；8k的FFT可以通過6個基4和1個基2變換來實現。也就是說：FFT的基本結構可由基2／4模塊、復數乘法器、存儲單元和存儲器控制模塊構成，其整體結構如圖1所示。
圖1中，RAM用來存儲輸入數據、運算過程中的中間結果以及運算完成後的數據，ROM用來存儲旋轉因子表。蝶形運算單元即為基2／4模塊，控制模塊可用於產生控制時序及地址信號，以控制中間運算過程及最後輸出結果。
2 蝶形運算器的實現
基4和基2的信號流如圖2所示。圖中，若A＝r0＋j＊i0，B＝r1＋j＊i1，C＝r2＋j＊i2，D＝r3＋j＊i3是要進行變換的信號，Wk0＝c0＋j＊s0＝1，Wk1＝c1＋j＊s1，Wk2＝c2＋j＊s2，Wk3＝c3＋j＊s3為旋轉因子，將其分別代入圖2中的基4蝶形運算單元，則有：
A′＝[r0＋(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)]

2. 關於周期沖激串的傅立葉變換，為什麼不可以使用時移性質，推出下面圖中的結論呢… 同理，如果是一個周期

從直觀上看，沖激函數通過時移和無窮求和就能夠得到沖激串函數。

數學表示為

3. 誰有快速傅里葉變換（fft）演算法的DSP 課程設計報告啊急！！

我也是學這個棵的,但是不知道

4. 函數的傅里葉變換

先給你個利用matlab中傅里葉變換進行函數頻譜分析的程序。
clf;
fs=100;N=128; %采樣頻率和數據點數
n=0:N-1;t=n/fs; %時間序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信號
y=fft(x,N); %對信號進行快速Fourier變換
mag=abs(y); %求得Fourier變換後的振幅
f=n*fs/N; %頻率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %繪出Nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
%對信號采樣數據為1024點的處理
fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信號
y=fft(x,N); %對信號進行快速Fourier變換
mag=abs(y); %求取Fourier變換的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %繪出Nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

系統實現的意義和必要性：通過變換可以將原本的時域信號函數轉化為頻域，可以直觀的觀察到所採集信號函數的頻域特徵，更有利於進行信號分析

系統功能：通過傅里葉變換將信號函數的時域圖形轉化成頻域圖形，即將信號函數原本幅值隨時間變化的特性曲線轉化為幅值隨頻率變化的特性曲線

系統設計：利用傅里葉變換的快速傅里葉變換特性（fft）

系統測試：可以得出信號函數的功率譜函數，從時、頻兩域分析信號

遇到的問題及解決方法：mag=abs(y); 由於傅里葉變換是復數域的變換，需要對其函數進行求模

結論：利用傅里葉變換及其逆變換可以簡單的將信號函數進行時、頻域的轉化，有利於進行信號分析。

本人有一定從事信號分析的經歷，並且積累了一定的經驗，對傅里葉變換有比較深的了解，希望對你有所幫助，如果有什麼問題可以在線問我。

5. sinc函數如何求傅里葉變換結論我知道，過程是怎樣的

一般不用定義求，直接利用傅里葉變換的對稱性質來求。即根據矩陣脈沖信號的傅里內葉變換是Sa(t)函數反過來知道容sinc函數是求傅里葉變換。
當然你可以根據定義求，不過由於在積分的時候變數是處於分母位置，可以利用時域積分性質。