認識線段課程標准

1. 數學課程標准的基本要求有什麼變化

一、總體框架結構的變化
2001年版分四個部分：前言、課程目標、內容標准和課程實施建議。

2011年版把其中的「內容標准」改為「課程內容」。前言部分由原來的基本理念和設計思路，改為課程基本性質、課程基本理念和課程設計思路三部分。

二、關於數學觀的變化

2001年版：數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，並進行廣泛應用的過程。數學作為一種普遍適用的技術，有助於人們收集、整理、描述信息，建立數學模型，進而解決問題，直接為社會創造價值。

2011年版：數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學作為對於客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。

三、基本理念的變化：「三句」變「兩句」、「6條」改「5條」

2001年版「三句話」：人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。

2011年版「兩句話」：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。

「6條」改「5條」：在結構上由原來的6條改為5條，將2001年版的第2條關於對數學的認識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內容的認識，此外，將「數學教學」與「數學學習」合並為數學「教學活動」。

2001年版：數學課程——數學——數學學習——數學教學活動——評價——現代信息技術

2011年版：數學課程——課程內容——教學活動——學習評價——信息技術

四、課程理念中新增加了一些提法

要處理好四個關系；數學課程基本理念（兩句話）；數學教學活動的本質要求；培養良好的數學學習習慣；注重啟發式；正確看待教師的主導作用；處理好評價中的幾個關系；注意信息技術與課程內容的整合。

五、「雙基」變「四基」

2001年版的「雙基」：基礎知識、基本技能。

2011年版的「四基」：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。並把「四基」與數學素養的培養進行整合：掌握數學基礎知識，訓練數學基本技能，領悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗。

六、四個領域名稱的變化

2001年版：數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用。

2011年版：數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。

七、課程內容的變化

更加註意內容的系統性和邏輯性。如在數與代數領域的第一學段：增加了認識小括弧，能進行簡單的整數四則混合運算。綜合與實踐領域的要求更加明確和具有可操作性。

八、實施建議的變化

不再分學段闡述，而是分教學建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源利用和開發建議。在強調學生主體作用的同時，明確提出教師的組織和引導作用。

一、「課程基本理念」的修改

1．將「人人學有價值的數學，人人獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展」，改為「人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展」。

2．將「數學學習」和「數學教學」兩條合並成一條「教學活動」，整體上闡述數學教學活動的特徵。表述為：「教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的數學教學活動是學生學與教師教的統一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。」

二、「設計思路」的修改

1．對「數與代數」，「圖形與幾何」，「統計與概率」，「綜合與實踐」四個方面的課程內容做了明確的闡述。

2．將「空間與圖形」改為「圖形與幾何」、「實踐與綜合應用」改為「綜合與實踐」。確立了「數感」、「符號意識」、「運算能力」、「模型思想」、「空間觀念」、「幾何直觀」、「推理能力」、「數據分析觀念」等八個關鍵詞，並給出具體描述。並專門闡述了「應用意識」和「創新意識」。

三、「課程目標」的修改

1．明確提出「四基」，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。

2．提出了發現和提出問題的能力：在原分析和解決問題能力的基礎上，進一步提出培養學生發現和提出問題的能力。

3．完善了一些具體目標的描述：比如對於學習習慣，明確指出使學生養成「認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣」。

4．規范了課程目標的若干術語。並在學段目標中使用這些術語。

四、「課程內容」（原「內容標准」）的修改

1．對「數與代數」，「圖形與幾何」，「統計與概率」和「綜合與實踐」四個方面的內容及要求進行了適當的調整，使用規定的課程目標術語，對某些課程目標的表述進行了修改。

2．從總體結構上看，「幾何與圖形」領域發生了一些變化，另外三個領域的結構基本沒變。「幾何與圖形」結構的變化表現在：將實驗稿中分四個方面對內容進行的要求（即「圖形的認識」、「圖形與變換」、「圖形與坐標」、「圖形與證明」）改為從三個方面展開內容要求，即「圖形的性質」、「圖形的變化」、「圖形與坐標」，這三部分中的「圖形的性質」基本上是整合了實驗稿中的第一和第四部分而成，而其他兩個部分與原來的兩部分對應。

3．四個領域中一些具體的內容的變化主要表現在以下幾個方面，一個是刪除了一些條目，第二是新增了一些內容（包括必學和選學內容），第三是對相同內容的要求不同（包括程度上的不同以及要求的進一步細化），具體如下。

（1）刪除的內容

▲在「數與代數」領域，刪除了一些內容，例如：

①對「大數」的認識與應用——「能對含有較大數字的信息作出合理的解釋與推斷」(實驗稿P31)

②對有效數字的要求——「了解有效數字的概念」（實驗稿P32）

③對一元一次不等式組的要求——「能夠根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式組，解決簡單的問題」（實驗稿P33）

▲在「圖形與幾何」（實驗稿為「空間與圖形」）領域，刪除的主要內容和要求有：

①關於等腰梯形的相關要求（實驗稿P39、P43）

②探索並了解圓與圓的位置關系（實驗稿P39）

③關於影子、視點、視角、盲區等內容，以及對雪花曲線和莫比烏斯帶等圖形的欣賞等（實驗稿P40）

④關於鏡面對稱的要求（實驗稿P41）

▲「統計與概率」部分刪除的內容

極差、頻數折線圖等內容

（2）新增加的內容

▲「數與代數」中既有必學的內容，也有選學的內容

①知道｜a｜的含義（這里a表示有理數）

②最簡二次根式和最簡分式的概念

③能進行簡單的整式乘法運算中增加了一次式與二次式相乘

④能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等

⑤會利用待定系數法確定一次函數的解析表達式

以上為增加的必學內容，此外，此次《標准》修改，還以標注「*」的方式，增加了選學內容，具體如下：

*⑥解簡單的三元一次方程組

*⑦了解一元二次方程的根與系數的關系

*⑧知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數

▲在「幾何與圖形」領域中，增加的內容既有必學的內容，也有選學的內容。

①會比較線段的大小，理解線段的和、差，以及線段中點的意義

②了解平行於同一條直線的兩條直線平行

③會按照邊長的關系和角的大小對三角形進行分類

④了解並證明圓內接四邊形的對角互補

⑤了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系

⑥尺規作圖：過一點作已知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和正六邊形

下面的要求是選學內容：

*⑦了解平行線性質定理的證明

*⑧探索並證明垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧

*⑨探索並證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長相等

*⑩了解相似三角形判定定理的證明

（3）在要求上有變化的內容（略）

4．在綜合與實踐領域，基本保持了實驗稿的要求，如：要經歷從實際問題抽象為數學問題並加以解決的過程，體會數學知識之間的聯系，等等。此外，還提出更為具體的要求，如：反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，交流成果，總結參與數學活動的收獲，進一步積累數學活動經驗。這樣使綜合與實踐的學習更加具有可操作性。

五、「實施建議」的修改

「實施建議」由原來按學段表述，改為三個學段整體表述，避免不必要的重復。

六、「實例」的修改

增加了一些幫助教師理解、澄清困惑的實例。並且，對大部分實例不僅僅呈現了實例要求本身，而且提出了實例的設計思路及教學過程建議，有利於教師理解課程內容、體會數學思想、實施教學。

七、增加附錄

將課程目標中的「術語解釋」和課程內容及實施建議中的實例統一放在附錄中，分別成為附錄1和附錄2。對實例進行統一編號，便於查找和使用。

2. 義務教育數學課程標准2011版的基本理念是什麼課程總目標是什麼

l在結構上由原來的6條改為5條，將原《標准》第2條關於對數學的認識整合到理回念之前的文字之中答，新增了對課程內容的認識，此外，將「數學教學」與「數學學習」合並為數學「教學活動」。l原課標： 數學課程—數學—數學學習—數學教學—評價—信息技術l修改後：數學課程—課程內容（新增）—教學活動（合並）—學習評價—信息技術。
總體目標：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠：1、獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。2、體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。3、了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和實事求是的科學態度。

3. 人教版小學數學課程標准去哪裡找

人教版小學數學課程標准實驗教材結構安排
1．「數與代數」結構安排 1
2．「量與計量」結構安排 4
3．「空間與圖形」結構安排 5
4．「統計與概率」結構安排 6
5．「實踐活動」結構安排 7
6．「數學思想方法」結構安排 8
7．「解決問題」結構安排 9

1．「數與代數」結構安排
年級 冊數 單元 內容 單元說明
一 上 1 數一數 10以內數的直觀認識
3 5以內數的認識和加減法 基數，序數，加減法各部分名稱，有關0的加減
6 6～10的認識和加減 加、減，連加，連減，加減混合，10以內的加法與減法表
7 11～20各數的認識 加、減法各部分名稱
9 20以內的進位加法 20以內進位加法表
下 2 20以內退位減 20以內退位減法表
4 100以內數的認識 整十數加減一位數
6 100以內加減（一） 整十相加減，兩位加減一位，兩位加減整十
二 上 2 100以內加減（二） 兩位數加減，連加，連減，加減混合，加減估算
4 表內乘法（一） 2～6的乘法口訣，乘加、乘減兩步式題
6 表內乘法（二） 7、8、9的乘法口訣，倍的認識，小九九表
下 1 表內除法（一） 用2～6的乘法口訣求商
4 表內除法（二） 用7、8、9的乘法口訣求商
解決問題
5 萬以內數的認識 千、萬以內數的認識
整千、整百數的加減
7 萬以內加減（一） 幾百幾十加減，估算
三 上 2 萬以內加減（二） 進位、退位，加減法驗算
4 有餘數的除法
6 多位數乘一位數 有關0的乘法
7 分數的初步認識 幾分之一，幾分之幾，簡單計算（分子不大於分母）
下 2 除數是一位數的除法 用乘法驗算除法，補充0的除法
5 兩位數乘兩位數
7 小數的初步認識 簡單加減（一位）
四 上 1 大數的認識 億以內、億以上
「四捨五入」P15
3 三位數乘兩位數 速度、時間、路程的關系
5 除數是兩位數的除法 商不變性質
下 1 四則運算 同級兩步運算，兩級三步運算，帶小括弧的運算，總結有關0的運算
3 運算定律與簡便計算 運算定律與運算性質，簡便計算
4 小數的意義和性質 意義，性質，小數點的移動引起數值的變化，求一個小數的近似數
6 小數的加減
五 上 1 小數乘法 兩步計算，積的近似值，運算定律的推廣
2 小數除法 商的近似值，循環小數
「進一法」、「去尾法」P33例12
4 簡易方程 等式的兩個性質
下 1 因數與倍數 因數和倍數，2、3、5倍數的特徵，奇數和偶數、質數和合數
4 分數的意義和性質 分數與除法和關系，真、假、帶分數，最大公因數與約分，最簡分數，最小公倍數與通分，分小數互化
5 分數的加法和減法 同分母分數加減法，異分母分數加減法，分數加減混合運算
六 上 2 分數乘法 意義，計算方法，倒數的認識，四則混合運算
3 分數除法 意義，計算方法，比和比的應用，四則混合運算
5 百分數 意義和寫法，百分數和分數、小數的互化，納稅、利率
下 1 負數
3 比例 比例的意義和性質，正比例和反比例，比例的應用

2．「量與計量」結構安排
年級 冊數 單元 內容 單元說明
上 2 比一比 長短，高矮
一 8 認識鍾表 整時，半時
下 5 認識人民幣 進率，簡單計算
7 認識時間 時與分的進率，幾時幾分
二 上 1 長度單位 厘米，米，進率
下 6 克和千克 包含進率
三 上 1 測量 毫米、分米、千米、噸
5 時、分、秒 認識秒，分與秒的進率，簡單的時間計算
下 4 年，月，日 24時計時法
6 面積和面積單位，進率 長方形，正方形的面積
四 上 2 角的度量 直線、射線、角的分類，用量角器畫角
下
五 上
下
六 上
下

3．「空間與圖形」結構安排
年級 冊數 單元 內容 單元說明
一 上 4 認識物體和圖形 平面，立體，出現線段
下 1 位置 上下，左右，前後，位置（兩維坐標）
3 圖形的拼組 平面，立體
二 上 3 角的初步認識 角，直角，用三角板畫直角
5 觀察物體 正面，側面，軸對稱，鏡像對稱
下 3 圖形與變換 銳角和鈍角，平移和旋轉
三 上 3 四邊形 四邊形，平行四邊形
長方形和正方形的周長，長度的估計
下 1 位置與方向 8個方位的絕對性
四 上 2 角的度量 射線、直線、角、度及「°」
角的分類，用量角器畫角
4 平行四邊形和梯形 垂直與平行，平行四邊形，梯形
下 2 位置與方向 8個方位的相對性
5 三角形 特性，分類，內角和，拼圖
五 上 3 觀察物體 從正、側、上面觀察
5 多邊形面積 平、三、梯形，組合圖形
下 1 圖形的變換 軸對稱，旋轉
3 長方體和正方體 表面積，體積單位，體積，容積
六 上 1 位置 用數對表示位置
4 圓 認識圓，圓的周長，圓的面積
下 2 圓柱與圓錐 圓柱和圓錐的認識，圓柱的表面積，圓柱和圓錐的體積，

4．「統計與概率」結構安排
年級 冊數 單元 內容 單元說明
一 上 滲透 形象、條形統計圖，收集數據的方法 P83、P85出現
下 9 條形統計圖 條形圖中一格代表1
二 上 7 條形統計圖（畫「正」字） 條形圖中一格代表2
下 8 復式統計表，條形圖 條形圖中一格代表5
三 上 8 可能性的大小 畫「正」字
下 3 數據分析，平均數 出現橫向條形統計圖
四 上 6 復式條形統計圖 橫向，縱向
下 7 單式折線統計圖
五 上 6 統計與可能性，中位數 事件發生的等可能性，游戲規則的公平性，求簡單事件的概率
下 6 統計，眾數 眾數，復式折線統計圖
六 上 6 扇形統計圖 扇形統計圖
下 4 統計 在根據統計圖進行比較時要注意統一標准

5．「實踐活動」結構安排
年級 冊數 內容 頁碼 知識支撐
一 上 數學樂園 82～83 10的認識和加減法
我們的校園 114～115 20以內的進位加法
下 擺一擺，想一想 45 100以內數的認識
小小商店 86～87 100以內的加法和減法
人民幣的簡單計算
二 上 我長高了 36～37 米和厘米
看一看，擺一擺 92～93 觀察物體，角和直角，長方形、正方形、三角形
下 剪一剪 46～47 平移和旋轉，滲透軸對稱
有多重 104～105 克和千克
三 上 填一填，說一說 67 時、分、秒
擲一擲 118～119 可能性，統計
下 製作年歷 56～57 年、月、日
設計校園 106～107 解決問題
四 上 1億有多大 33～34 大數的認識
你寄過賀卡嗎 110～111 統計，平均數，估算
下 營養午餐 4849 統計表，解決問題
小管家 124 統計表
五 上 量一量，找規律 77 滲透函數思想
鋪一鋪 109 滲透密鋪
下 粉刷圍牆 58 統計表，表面積
打電話 132 結構圖，樹形圖
六 上 確定起跑線 75～76 圓的概念和周長
合理存款 110～111 百分數
下 自行車里的數學 64～65 圓的周長，比例
節約用水 74～75 統計

6．「數學思想方法」結構安排
年級 冊數 內容 單元說明
一 上 分類 單一分類
下 找規律 顏色、排列、數字
二 上 簡單的排列組合，邏輯推理 組數
下 找規律 循環排列
三 上 排列組合 枚舉，按順序思考
下 集合，等量代換 包含與排除，等量代換
四 上 運籌學，對策論
下 植樹問題，方陣問題
五 上 編碼問題 分類，數字與編碼
下 找次品
六 上 雞兔同籠問題
下 抽屜原理

7．「解決問題」結構安排
年級 冊數 單元 內容 單元說明
一 上 用數學 結合計算的教學安排應用數學解決問題
下
二 上
下 1 解決問題 兩步（加減，乘加，乘減），出現小括弧
4 解決問題 出現在「用7、8、9、的乘法口訣求商」中
三 上
下 8 解決問題 連乘、連除
四 上
下
五 上 2 小數除法 其中包含有解決問題
下 3 長方體和正方體 結合單元知識點解決問題
5 分數的加法和減法 結合單元知識點來解決問題
六 上 2 分數乘法 用分數乘法解決有關實際問題
3 分數除法 用分數除法解決有關實際問題
4 圓 結合圓的知識解決有關實際問題
5 百分數 用百分數解決有關實際問題
6 統計 結合統計知識解決有關實際問題
下 2 圓柱與圓錐 結合圓柱與圓錐的知識解決問題
3 比例 用比例知識解決問題

4. 小學數學的課程標準是什麼

1、獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能；

2、初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識；

3、體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心

4、具有初步的創新精神和實踐能力，在情感態度和一般能力方面都能得到充分發展。

(4)認識線段課程標准擴展閱讀：

義務教育階段的數學學習目標：

1、獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。

2、體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

3、了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和實事求是的科學態度。

5. 如何寫課程標准初中數學案例分析

初中數學教學典型案例分析

我僅從四個方面，藉助教學案例分析的形式，向老師們匯報一下我個人數學教學的體會，這四個方面是：

1.在多樣化學習活動中實現三維目標的整合；2.課堂教學過程中的預設和生成的動態調整；3.對數學習題課的思考；4.對課堂提問的思考。

首先，結合《勾股定理》一課的教學為例，談談如何在多樣化學習活動中實現三維目標的整合

案例1：《勾股定理》一課的課堂教學

第一個環節：探索勾股定理的教學

師（出示4幅圖形和表格）：觀察、計算各圖中正方形A、B、C的面積，完成表格，你有什麼發現？

A的面積

B的面積

C的面積

圖1

圖2

圖3

圖4

生：從表中可以看出A、B兩個正方形的面積之和等於正方形C的面積。並且，從圖中可以看出正方形A、B的邊就是直角三角形的兩條直角邊，正方形C的邊就是直角三角形的斜邊，根據上面的結果，可以得出結論：直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

這里，教師設計問題情境，讓學生探索發現「數」與「形」的密切關聯，形成猜想，主動探索結論，訓練了學生的歸納推理的能力，數形結合的思想自然得到運用和滲透，「面積法」也為後面定理的證明做好了鋪墊，雙基教學寓於學習情境之中。

第二個環節：證明勾股定理的教學

教師給各小組奮發製作好的直角三角形和正方形紙片，先分組拼圖探究，在交流、展示，讓學生在實踐探究活動中形成新的能力 (試圖發現拼圖和證明的規律：同一個圖形面積用不同的方法表示)。

學生展示略

通過小組探究、展示證明方法，讓學生把已有的面積計算知識與要證明的代數式聯系起來，並試圖通過幾何意義的理解構造圖形，讓學生在探求證明方法的過程中深刻理解數學思想方法，提升創新思維能力。

第三個環節：運用勾股定理的教學

師（出示右圖）：右圖是由兩個正方形

組成的圖形，能否剪拼為一個面積不變的新

的正方形，若能，看誰剪的次數最少。

生（出示右圖）：可以剪拼成一個面積

不變的新的正方形，設原來的兩個正方形的

邊長分別是a、b，那麼它們的面積和就是

a2+ b2，由於面積不變，所以新正方形的面積

應該是a2+ b2，所以只要是能剪出兩個以a、b

為直角邊的直角三角形，把它們重新拼成一個

邊長為 a2+ b2 的正方形就行了。

問題是數學的心臟，學習數學的核心就在於提高解決問題的能力。教師在此設置問題不僅是檢驗勾股定理的靈活運用，更是對勾股定理探究方法和證明思想（數形結合思想、面積割補的方法、轉化和化歸思想）的綜合運用，從而讓學生在解決問題中發展創新能力。

第四個環節：挖掘勾股定理文化價值

師：勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，見數與形密切聯系起來。它在培養學生數學計算、數學猜想、數學推斷、數學論證和運用數學思想方法解決實際問題中都具有獨特的作用。勾股定理最早記載於公元前十一世紀我國古代的《周髀算經》，在我國古籍《九章算術》中提出「出入相補」原理證明勾股定理。在西方勾股定理又被成為「畢達哥拉斯定理」，是歐式幾何的核心定理之一，是平面幾何的重要基礎，關於勾股定理的證明，吸引了古今中外眾多數學家、物理學家、藝術家，甚至美國總統也投入到勾股定理的證明中來。它的發現、證明和應用都蘊涵著豐富的數學人文內涵，希望同學們課後查閱相關資料，了解數學發展的歷史和數學家的故事，感受數學的價值和數學精神，欣賞數學的美。

新課程三維目標（知識和技能、過程和方法、情感態度和價值觀）從三個維度構建起具有豐富內涵的目標體系，課程運行中的每一個目標都可以與三個維度發生聯系，都應該在這三個維度上獲得教育價值。

2.課堂教學過程中的預設和生成的動態調整

案例2：年前，在魯教版七年級數學上冊《配套練習冊》第70頁，遇到一道填空題：

例：設a、b、c分別表示三種質量不同的物體，如圖所示，圖①、圖②兩架天平處於平衡狀態。為了使第三架天平（圖③）也處於平衡狀態，則「？」處應放 個物體b?

a

a

b

c

圖① 圖②

a

c

?

圖③

通過調查，這個問題只有極少數學生填上了答案，還不知道是不是真的會解，我需要講解一下。

我講解的設計思路是這樣的：

一.引導將圖①和圖②中的平衡狀態，用數學式子（符號語言——數學語言）表示（現實問題數學化——數學建模）：

圖①：2a=c＋b. 圖②: a＋b=c.

因此，2a=（a＋b）＋b.

可得：a=2b， c=3b .

所以，a＋c = 5b.

答案應填5.

我自以為思維嚴密，有根有據。然而，在讓學生展示自己的想法時，卻出乎我的意料。

學生1這樣思考的：

假設b=1,a=2,c=3.所以，a＋c = 5，答案應填5.

學生這是用特殊值法解決問題的，雖然特殊值法也是一種數學方法，但是存在很大的不確定性，不能讓學生僅停留在這種淺顯的思維表層上。面對這個教學推進過程的教學「新起點」，我必須深化學生的思維，但是，還不能打擊他的自信心，必須保護好學生的思維成果。因此，我立刻放棄了准備好的講解方案，以學生思維的結果為起點，進行調整。

我先對學生1的方法進行積極地點評，肯定了這種思維方式在探索問題中的積極作用，當那幾個同樣做法的學生自信心溢於言表時，我隨後提出這樣一個問題：

「你怎麼想到假設b=1, a=2, c=3？a、b、c是不是可以假設為任意的三個數？」

有的學生不假思索，馬上回答：「可以是任意的三個數。」也有的學生持否定意見，大多數將信將疑，全體學生被這個問題吊足了胃口，我趁機點撥：

「驗證一下吧。」

全班學生立刻開始思考，驗證，大約有3分鍾的時間，學生們開始回答這個問題：

「b=2，a=3，c=4時不行，不能滿足圖①、圖②中的數量關系。」

「b=2，a=4，c=6時可以。結果也該填5.」

「b=3，a=6，c=9時可以，結果也一樣。」

「b=4，a=8，c=12時可以，結果也一樣。」

「我發現，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能滿足圖①、圖②中的數量關系，結果就一定是5.」

這時，學生的思維已經由特殊上升到一般了，也就是說在這個過程中，學生的歸納推理得到了訓練，對特殊值法也有了更深的體會，用字母表示發現的規律，進而得到a=2b，c=3b .所以，a＋c = 5b. 答案應填5.

我的目的還沒有達到，繼續拋出問題：

「我們列舉了好多數據，發現了這個結論，你還能從圖①、圖②中的數量關系本身，尋找更簡明的方法嗎？」學生又陷入深深地思考中，當我巡視各小組中出現了「圖①：2a=c＋b. 圖②: a＋b=c.」時，我知道，學生的思維快與嚴密的邏輯推理接軌了。

我們是不是都有這樣的感受,課堂教學設計兼具「現實性」與「可能性」的特徵，這意味著課堂教學設計方案與教學實施過程的展開之間不是「建築圖紙」和「施工過程」的關系，即課堂教學過程不是簡單地執行教學設計方案的過程。

在課堂教學展開之初，我們可能先選取一個起點切入教學過程，但隨著教學的展開和師生之間、生生之間的多向互動，就會不斷形成多個基於不同學生發展狀態和教學推進過程的教學「新起點」。因此課堂教學設計的起點並不是唯一的，而是多元的；不是確定不變的，而是預設中生成的；不是按預設展開僵硬不變的，而是在動態中調整的。

3.一節數學習題課的思考

案例3：一位教師的習題課，內容是「特殊四邊形」。

該教師設計了如下習題：

A

O

F

E

B

H

G

C

題1 （例題）順次連接四邊形各邊的中點，所得的四邊形是怎樣的四邊形？並證明你的結論。

題2 如右圖所示，△ABC中，中線BE、CF

交於O, G、H分別是BO、CO的中點。

（1） 求證：FG∥EH;

（2） 求證：OF=CH.

O

F

A

E

C

B

D

題3 (拓展練習)當原四邊形具有什麼條件時，其中點四邊形為矩形、菱形、正方形？

題4 （課外作業）如右圖所示，

DE是△ABC的中位線，AF是邊

BC上的中線，DE、AF相交於點O.

（1）求證：AF與DE互相平分；

（2）當△ABC具有什麼條件時，AF = DE。

（3）當△ABC具有什麼條件時，AF⊥DE。

F

G

E

H

D

C

B

A

教師先讓學生思考第一題（例題）。教師引導學生畫圖、觀察後，進入證明教學。

師：如圖，由條件E、F、G、H

是各邊的中點，可聯想到三角形中位

線定理，所以連接BD，可得EH、

FG都平行且等於BD,所以EH平行

且等於FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形，下面，請同學們寫出證明過程。

只經過五六分鍾，證明過程的教學就「順利」完成了，學生也覺得不難。但讓學生做題2，只有幾個學生會做。題3對學生的困難更大，有的模仿例題，畫圖觀察，但卻得不到矩形等特殊的四邊形；有的先畫矩形，但矩形的頂點卻不是原四邊形各邊的中點。

評課：本課習題的選擇設計比較好，涵蓋了三角形中位線定理及特殊四邊形的性質與判定等數學知識。運用的主要方法有：（1）通過畫圖（實驗）、觀察、猜想、證明等活動，研究數學；（2）溝通條件與結論的聯系，實現轉化，添加輔助線；（3）由於習題具備了一定的開放性、解法的多樣性，因此思維也要具有一定的深廣度。

為什麼學生仍然不會解題呢？學生基礎較差是一個原因，在教學上有沒有原因？我個人感覺，主要存在這樣三個問題：

（1）學生思維沒有形成。教師只講怎麼做，沒有講為什麼這么做。教師把證明思路都說了出來，沒有引導學生如何去分析，剝奪了學生思維空間；

（2）缺少數學思想、方法的歸納，沒有揭示數學的本質。出現講了這道題會做，換一道題不會做的狀況；

（3）題3是動態的條件開放題，相對於題1是逆向思維，思維要求高，學生難把握，教師缺少必要的指導與點撥。

修正：根據上述分析，題1的教學設計可做如下改進：

首先，對於開始例題證明的教學，提出「序列化」思考題：

（1）平行四邊形有哪些判定方法？

（2）本題能否直接證明EF∥FG , EH=FG? 在不能直接證明的情況下，通常考慮間接證明，即藉助第三條線段分別把EH和FG的位置關系（平行）和數量關系聯系起來，分析一下，那條線段具有這樣的作用？

（3）由E、F、G、H是各邊的中點，你能聯想到什麼數學知識？

（4）圖中有沒有現成的三角形及其中位線？如何構造？

設計意圖：上述問題（1）激活知識；問題（2）暗示輔助線添加的必要性，滲透間接解決問題的思想方法；問題（3）、（4）引導學生發現輔助線的具體做法。

其次，證明完成後，教師可引導歸納：

我們把四邊形ABCD稱為原四邊形，四邊形EFGH稱為中點四邊形，得到結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形;輔助線溝通了條件與結論的聯系，實現了轉化。原四邊形的一條對角線溝通了中點四邊形一組對邊的位置和數量關系。這種溝通來源於原四邊形的對角線同時又是以中點四邊形的邊為中位線的兩個三角形的公共邊，由此可感受到，起到這種溝通作用的往往是圖形中的公共元素，因此，在證明中一定要關注這種公共元素。

然後，增設「過渡題」：原四邊形具備什麼條件時，其中點四邊形為矩形？教師可點撥思考：

怎樣的平行四邊形是矩形？結合本題特點，你選擇哪種方法？考慮一個直角，即中點四邊形一組鄰邊的位置關系。一組鄰邊位置和數量關系的變化，原四邊形兩條對角線的位置和數量關系也隨之變化。

根據修正後的教學設計換個班重上這節課，這是效果明顯，大部分學生獲得了解題的成功，幾個題都出現了不同的證法。

啟示：習題課教學，例題教學是關鍵。例題與習題的關系是綱目關系，綱舉則目張。在例題教學中，教師要指導學生學會思維，揭示數學思想，歸納解題方法策略。可以嘗試以下方法：

（1）激活、檢索與題相關的數學知識。知識的激活、檢索緣於題目信息，如由條件聯想知識，由結論聯系知識。知識的激活和檢索標志著思維開始運作；

（2）在思維的障礙處啟迪思維。思維源於問題，數學思維是隱性的心理活動，教師要設法採取一定的形式，凸顯思維過程，如：設計相關的思考問題，分解題設障礙，啟迪學生有效思維。

（3）及時歸納思想方法與解題策略。從方法論的角度考慮，數學習題教學，意義不在習題本身，數學思想方法、策略才是數學本質，習題僅是學習方法策略的載體，因此，方法策略的總結是很有必要的。題1的歸納總結使題2迎刃而解，題2是將題1的凸四邊形ABCD變為凹四邊形ABOC，兩題的實質是一樣的。學生在解題3時，試圖模仿題1，這是解題策略問題。題1條件確定，可以通過畫圖、觀察發現，題3必須通過推理發現後才可畫出圖形。

4. 注意課堂提問的藝術

案例1：一堂公開課——「相似三角形的性質」，為了了解學生對相似三角形判定的掌握情況，提出兩個問題：

（1） 什麼叫相似三角形？

（2） 相似三角形有哪幾種判定方法？

聽了學生流利、圓滿的回答，教師滿意地開始了新課教學。老師們對此有何評價？

C

B

A

事實上學生回答的只是一些淺層次記憶性知識，並沒有表明他們是否真正理解。可以將提問這樣設計：

如圖，在△ABC和△A?B?C?中，

(1)已知∠A=∠A?,補充一個合適的

C?

A?

B?

條件 ，使△ABC∽△A?B?C?;

(2)已知AB/A?B?=BC/B?C?;補充一個合適的

條件 ，使△ABC∽△A?B?C?.

回答這樣的問題，僅靠死記硬背是不行的，只有在真正掌握了相似三角形判定的基礎上才能正確回答。這樣的提問能起到反思的作用，學生的思維被激活，教學的有效性能夠提高。

案例2：一堂講菱形的判定定理（是講對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）的課，教師畫出圖形後，有一段對話：

師：四邊形ABCD中，AC與BD互相垂直平分嗎？

B

C

A

D

生：是！

師：你怎麼知道？

生：這是已知條件！

師：那麼四邊形ABCD是菱形嗎？

生：是的！

師：能通過證三角形全等來證明結論嗎？

生：能！

老師們感覺怎樣？實際上，老師已經指明用全等三角形證明四邊形的邊相等，學生幾乎不怎麼思考就開始證明了，所謂的「導學」實質成了變相的「灌輸」。雖從表面上看似熱鬧活躍，實則流於形式，無益於學生積極思維。可以這樣修正一下提問的設計：

(1)菱形的判定已學過哪幾種方法？（1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2.四邊相等的四邊形是菱形）

(2)兩種方法都可以嗎？證明邊相等有什麼方法？（1.全等三角形的性質；2.線段垂直平分線的性質）

（3）選擇哪種方法更簡捷？

案例3：「一元一次方程」的教學片段：

師：如何解方程3x－3=－6（x－1）?

生1：老師，我還沒有開始計算，就看出來了，x =1.

師：光看不行，要按要求算出來才算對。

生2：先兩邊同時除以3，再……(被老師打斷了)

師：你的想法是對的，但以後要注意，剛學新知識時，記住一定要按課本的格式和要求來解，這樣才能打好基礎。

老師們感覺怎樣？這位教師提問時，把學生新穎的回答中途打斷，只滿足單一的標准答案，一味強調機械套用解題的一把步驟和「通法」。殊不知，這兩名學生的回答的確富有創造性，可惜，這種偶爾閃現的創造性思維的火花不僅沒有被呵護，反而被教師「標準的格式」輕易否定而窒息扼殺了。其實，學生的回答即使是錯的，教師也要耐心傾聽，並給與激勵性評析，這樣既可以幫助學生糾正錯誤認識，又可以激勵學生積極思考，激發學生的求異思維，從而培養學生思維能力。

有的老師提問後留給學生思考時間過短，學生沒有時間深入思考，結果問而不答或者答非所問；有的老師提問面過窄，多數學生成了陪襯，被冷落一旁，長期下去，被冷落的學生逐漸對提問失去興趣，上課也不再聽老師的，對學習失去動力。

關於課堂提問，我感覺要注意以下問題：

（1）提問要關注全體學生。提問內容設計要由易到難，由淺入深，要富有層次性，不同的問題要提問不同層次的學生；

（2）提問要有思考的價值，課堂提問要選擇一個「最佳的智能高度」進行設問，是大多數學生「跳一跳，夠得著」；

（3）提問的形式和方法要靈活多樣。注意提問的角度轉換，引導學生經歷嘗試、概括的過程，充分披露靈性，展示個性，讓學生得到的是自己探究的成果，體驗的是成功的快樂，使「冰冷的，無言的」數學知識通過「過程」變成「火熱的思考」。

6. 小學數學新課程標准中圖形的認識要求包括哪幾方面

14/15大於0.9，也就是徒弟每分鍾加工的多。所以徒弟快

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