圖形與幾何課程設計的特點

『壹』 圖形與幾何的特點

圖形與幾何解題之關系及其教學上的應用
繕榜 撰
前言
「水能載舟亦能覆舟」這 話意味著一件事物固然有它美好的一面,當然也
有它 之處.相信這種道 無 用在 麼地方應該是可 的.幾何圖形對解題
而言亦是如此,學生在學習 學的過程當中,必須藉由圖形的 解,以思 一些
學關系,定 等(Bishop, 宜臻譯,民80).同樣地,學生也有可能由於圖
形的緣故,而妨礙他們的思考,或是作出錯誤的表現(Presmeg, 1986;引自Bishop,
譚 君譯,民80).因此本報告的內容除 明圖形在幾何解題中之重要地位
外,還要以認知的觀點 探討學生是如何表徵這些圖形,並且闡述圖形是如何妨
礙學生的思考與解題,最後筆者再根據一些研究的成果,提出教學上因應的策 .
圖形對幾何解題的重要性
關於圖形在幾何學當中的地位,Usiskin(1982)曾經作 有關學校幾何課程
困境的相關研究,在研究當中他把幾何學分為四個面向(dimension):
面向一:幾何是視覺化,畫圖及圖形的建構.
面向二:幾何是真實,物 世界的研究.
面向三:幾何是表徵 學的或是其他 能以視覺或物 方式呈現的媒介.
面向四:幾何是 學系統的一個范 .
從Usiskin對幾何學所區分的四個面向 看,第一個面向就是圖形有著密
可分的關系.並且在幾何課程當中,教師教導學生幾何的過程當中,常常 用圖
形的呈現使學生 解幾何概 ,關系.因此「畫圖」或是「構圖」(construction)
就成為學生解幾何問題及教師講解幾何概 時,當中一個重要的活動 .
圖形對幾何解題的重要性,可以從Polya(1957,閻育蘇譯,民80)的著作
當中窺知一二.這位著名一時的 學家認為圖形 僅是幾何問題的對象,而且對
於解所有各 問題 有很大幫助,既使起初看起 問題與幾何無關(頁83-84).
在他的著作當中,他舉 許多「啟思法」,當中有一項就是「畫張草圖」.因為
學生在解幾何問題時,無法同時想像所有的細節,藉由畫草圖的方式,可以將
清題意,並且可考慮許多其他問題.
在傳統的幾何課程當中,證明是課程當中的核心,可是關於幾何概 的學
習,並非局限於證明本身.Hoffer(1981) 積 一些教學經驗,認為學生在課
堂中學習幾何過程中,有五種技能是需要培養的;分別是:視覺技能,口語技能,
畫圖技能, 輯技能及應用技能.就畫圖技能而言,Hoffer認為幾何課程當中應
該要提供學生 用圖形表達自己的想法,並且從中發覺出一些幾何關系.譬如當
學生 用「尺規作圖」時,就能幫助學生 解圖形的性質.對於Chazan(1995)
而言,他也抱持著相似的看法,在他研究當中學生藉由圖形的探 ,而引發出學
生的一些猜想,歸納,對建構主義 這樣的方式能夠使學生主動地建構知 .
由此可知圖形對學生本身建構知 的重要性.
到幾何知 本身,學生在解決幾何問題時,會經常回憶起幾何知 .譬
如一些幾何定 的回憶經常會伴隨著幾何圖形想像;也就是當學生在學習定
時,他們經常會將一個特定的圖形之訊息合並成 的一部份(Clements&
Battista, 1992).Lawson與Chinnappan(2000)的研究中就顯示出學生在解幾何
問題,回憶其所應用到的幾何定 時,同時也會 想到定 所對應的圖形.同時
繕榜(2000)的研究當中也顯示出,當國中 學資優生在解尺規作圖的題目時,
會受到先前題目圖形的影響.這些研究的結果顯示出學生解題 是受到先前經驗
的影響,然而這些經驗 是與圖形有緊密的關 .試想學生在解幾何題時,他們
回憶起的圖形甚至藉由圖形 解決問題,這樣的知 取形式是否是一種心象
呢
心象與圖形之關系
Wheatley(1998)做過一些研究,認為心象牽涉到下 三種活動,分別是建
心象,重新表徵心象及轉換心象,其 明如下:
1. 建 心象(Constructing an image)
譬如當學生在瞬間看到一個幾何圖形時,我們要求他們把剛剛看到的
圖形畫出 ,在畫的過程當中,他們就已經建 心象.然而在建 心象的
過程中,還會包含一些有關心象的性質及經驗.因此心象的本質就視乎個體
先前的心智建構,意向及心象建 時的情境.
2. 重新表徵心象(Re-presenting the image)
一但心象建 之後,就 需要有意 地保 .當需要回憶起的時候,
心象會再次呈現.在學習 學的過程中,每個人 建 起屬於自己的心象以
幫助問題解決及建構新的 學知 .這時候心象就會成為一個指引,在每個
人的腦中重新表徵.在許多時候心象重新呈現,事實上會變得 加 致.
3. 轉換心象(Transforming the image)
一但心象建 ,並且重新表徵 ,這樣它就能作一些轉換.譬如將
一個二維或三維的幾何圖形作平移,旋轉等操 .然而這個 程對於許多學
生 是比較困難的.
藉由這三個 程學生在解決幾何問題的時候,所畫的圖自然是產生於先前
所建構的心象.同樣地,當學生看到圖形的時候,他們會個別地以自己的經驗給
於圖形意義(Wheatley&Reynolds, 1999).所以學生在解幾何問題時,題目上所
給予的圖形,學生會以既有的心象去和它相吻並合加以思考.而解題所應用的定
,當學生必須使用圖形轉譯定 時,心象就成為思考及應用定 的指引
(Clements&Battista, 1992).在這 可 得圖形與心象及學生解幾何問題之間的
關系.
圖形導致解題錯誤表現之探討
從以上可以清楚地看到圖形對幾何解題的重要性,同時也可以推知學生在
解有圖形的幾何問題時,圖形對於學生而言乃形成的內在表徵.然對教學上而
言,圖形只是一個輔助的工具,而「畫圖」本身只是解決問題過程中的其中一個
步驟,並非所有能畫圖的學生就能夠運用圖形解題(Bishop, 宜臻譯,民80).
圖形本身有其局限性,甚至於圖形會誤導解題.為 麼會這樣呢 筆者提出以下
三種可能的原因.
一,心象的妨礙
當學生回憶起定 的應用時,與之伴隨的圖形常常會限制定 的應用.就
運用的幾何解題層面而言,學生解題錯誤往往是由於心象的緣故.譬如 在
Vladimirskii(1971, 引自Clements&Battista, 1992)的研究結果中指出學生在面
對幾何 述所伴隨的圖形,並 總是在推 方面有幫助的. 由如下:
1. 學生可能把一些和概 相關的訊息引入在推 當中.
2. 視覺心象可能造成僵化記憶(知 ).
3. 可能造成迷思概 .
同樣地,Presmeg(1986, 引自Bishop,譚 君譯,民80)在他的研究報告
中指出,透過視覺學習時所遭遇的困難如下所示:
1. 視覺或圖形的一個具體現象可能與其他 相關的因素相 結,或者甚至
於提供錯誤資 .
2. 標准圖形的心象可能導致具體思考的僵化,而阻礙 去 解非標准圖形
(nonstandard diagram)
3. 某一些 可控制的心象,可能阻礙 豐富的思考方向.
4. 假如心象 能與思考分析相吻合,則這個心象也變得沒 麼助 .
由學習層面 看,學生會因為心象的緣故導致解題失敗,追究其原因則是
當初伴隨幾何概 的圖形,使得學生在建 心象時,引入其他的訊息或是思考僵
化的現象.這是圖形影響學生錯誤解題的其中一個原因.
二,預備 夠
以上有談 到Hoffer(1981)認為在幾何學方面要會運用五項基本的技能,
分別視覺,口語,畫圖, 輯及應用等技能.而在畫圖方面的技能,Hoffer(1981)
認為課程當中 用直尺,圓規等作圖工具能夠 解圖形的性質.同時他 用van
Hiele的幾何發展學習 ,將畫圖技巧區分為以下五個層次:
1.認 期(recognition):畫個草圖 確地標明各個給定部分.
2.分析期(analysis):將口語的資訊轉換成圖案;或給定一些圖形的某些性
質,去畫出圖形的 .
3.排序期(ordering):給定一些圖形,能夠作和給定圖形有關的圖形.
4.演繹期(dection):知道何時及如何在一個圖形上加輔助元素(輔助線,
輔助圖形等);或是能夠從給定的資訊中推導出如何畫或作一個特殊的圖
形.
5.嚴密期(rigor): 解 同作圖工具的限制及功能.
Hoffer根據van Hiele的幾何發展學習 區分出這五個畫圖的層次,這是
就學生本身學習而言的.因為van Hiele的幾何發展學習 和Piaget的 一
樣有其階段性,當學生在一個層次尚未達到 熟程 ,是很難進 到下一個層
次.雖然van Hiele所提出的幾何發展學習 為後 的人所批評,但筆者認為
就認知的層面 ,Hoffer所界定的畫圖技能應有其循次漸進的步驟.因此學生
在解幾何問題時,或許能夠依照題意能畫出符合題意的草圖,但由於無法從給定
的資訊 用自己所畫的圖形去推導,使得解題發生錯誤.像這樣的情形可能是由
於學生並 熟悉自己所畫之圖形的一些幾何性質.因此筆者認為 用畫圖技巧解
決問題的確需要擁有一些該圖形的幾何知 .
三,圖形的錯誤引導
關於圖形的錯誤引導部分,乃筆者今 研究中其中一個研究發現結果.筆
者研究的對象乃是國中 學資優生,該研究是因應一個幾何課程而設計的.圖形
的錯誤引導在與筆者同期的研究生黃明 的研究當中,亦有 似的發現.在這
就以筆者的研究發現作一番 述.
筆者的研究在該幾何課程當中是屬於「尺規作圖」的部分,但該研究並未
提及太多教學效 的部分,反而是著重在學生在「尺規作圖」單元中的學習.筆
者在研究當中發現 學生解作圖題發生錯誤其中有一部份是與圖形有關.筆者將
這樣的現象歸納為「圖形的錯誤引導」部分,當中還細分 草圖的錯誤引導,給
定圖形的錯誤引導以及求作圖形的錯誤引導( 繕榜,2000).其 明如下:
1. 草圖的錯誤引導是由於學生在解作圖題當中所畫的草圖,使得學生作出
錯誤的反應.學生為 解出作圖題,畫 一個包含已知以及未知圖形的
草圖,由於在畫草圖的過程當中發生 一些謬誤,導致解作圖題中發生
錯誤.
2. 給定圖形的錯誤引導是由於學生 用題幹上所給定的已知圖形當中之
有部分圖形的特殊位置—譬如平面上有一P點,在視覺上「看似」在
條直線的分角線上,而題幹上只是 P點為平面上任意點, 用這樣的
關系導致作圖發生錯誤.學生就只是圖形在視覺上的謬誤,而導致他們
在解題時發生錯誤.
3. 求作圖形的錯誤引導是由於學生對求作之幾何圖形性質 熟悉的緣
故,使得學生未能想出解題策 完成解題.
相信學生因為圖形的緣故而發生錯誤 型, 只是以上筆者所 舉的這些
情形. 過可以肯定的是,學生的確是因為圖形的緣故而導至知 僵化,解題錯
誤,並且由於畫圖技巧的預備 夠的情況下,使得圖形未能幫助學生學習幾何
知 ,幾何解題.但是由前面筆者 明圖形對於幾何課程佔有 可或缺的地位
看,圖形對於教師講解幾何概 ,定 及解題,以及對學生學習幾何概 及解幾
何問題有相當大的助 .那麼教師要如何避開圖形所帶給學生 的妨礙,而擷
取 用圖形 解幾何概 的優點,計劃課堂上的教學呢
教學上的因應與總結
從以上得知圖形對於學生解幾何問題之 與弊之後,回歸到課堂上,教師
要作 麼樣的教學措施呢 筆者對此提出三項建議.
一, 輯的 系
有些人或許會質疑,在解幾何題的過程當中,圖形要畫得很 確,還是隨
手近似畫畫 Polya(1957,閻育蘇譯,民80,頁85)認為雖然一個 確的圖
形或許會造成錯誤的結 ,但是只要把注意 集中於「 輯的 系」,這樣就
會有 麼危險 .對筆者而言,所謂「 輯的 系」就是學生要能檢驗自己學生
所得出的結果是正確的.Scheffler(1965, p3, 引自Chazan, 1995)認為一圖形能
夠好得用 描述一個幾何定 ,但它始終 能夠對定 形成一個證明,盡管 用
測 技術對圖形作最佳的近似估 ,也 能被視為提供證明定 真確性的證據.
對幾何證明而言,正如Scheffler所 的, 能 用圖形的形式呈現一個證
明,而是要以 輯演繹的方式加以證明,這是從歐幾 得幾何以 一直所強調
的.同樣的道 在課堂當中一定強調證明的重要性.而對於尺規作圖而言,以演
繹的方式證明自己所作的圖是正確的, 能夠使學生 解幾何性質.對於其他幾
何問題 ,教師可採用一題多解以及避免使用特殊圖形的方式教導學生.在教
師講述的過程中,避免使用特殊圖形的方式教導,這是避免由特殊的圖形推導至
一般的圖形,而違反 輯順序.采一題多解的方式,除 能使學生從 同的面
向 解圖形的幾何性質外,還可以讓學生學習檢驗結果的正確性.筆者認為藉由
以上方式的教學,能夠增加學生本身 輯的 系.
二,鷹架的提供
關於鷹架的提供,Polya(1957,閻育蘇譯,民80,頁41)也有著 似的看
法,只是Polya以「輔助問題」的術語呈現他的想法.Polya希望教師藉由輔助
問題提供,讓學生通過這樣的一個問題幫助他們解決另一個問題.在筆者的研究
當中也有這樣的設計,該研究當中當學生未能獨 地解決作圖問題時,筆者從旁
提供一個輔助問題讓學生去解,並且使學生 解該輔助問題的解法,藉此讓學生
解決原 的作圖問題( 繕榜,2000).然而研究的結果顯示研究中「輔助問題」
真的對學生解原 的作圖問題有幫助. 似的情況在Lawson及Chinnappan
(2000)的研究當中,當學生在解一個幾何問題時,研究者所提供的「暗示」對
於學生 結幾何知 有所助 .
從以上的研究當中可 得「鷹架」的功能.在教學上,教師可以 用輔助
問題的觀點幫助學生建構圖形的概 ,藉由畫草圖的訓 及講述圖形之幾何性質
的方式,幫助學生一步步地建 起解題基模.
三,教學時呈現 確的圖形
這項建議乃筆者在 文口試時,邱守榕教授所提出一些她的觀點,在此筆
者作統合性的呈現.
盡管學生在解題的過程當中,無 所畫的圖形 確與否以及最後能否幫助
解題,教師在教學的過程當中所呈現的圖形也要以合 ,真實的方式呈現在學生
面前.譬如長 有著固定比 的圖形,當呈現在學生眼前時,教師總 能以差距
極大的比 誤導學生.又譬如教師示範解幾何題時,題幹上大小一樣大的圓,當
畫在黑板上時,教師總 能畫大小 同的圓吧!哪些地方該直的就 能夠畫成曲
的,方的圖形就 能變成圓的圖形.有些人會質疑這樣有 麼好處 在Chazan
(1995)的研究當中指出,這樣的方式可幫助學生作一些猜想, 解一些幾何性
質,關系,只是在學生猜想過後要作進一步的驗證.除此之外,教師在教導幾何
概 的過程中,可避免學生產生迷思概 .
筆者在此僅提供三點教學上的建議以供在校教師 考.關於其他有關圖
形,心象與解幾何問題之間的關系及其教學上的建議,則有待進一步的研究.
考文獻
Bishop, A. J.( 宜臻譯,民80). 學的視覺面.科學教育月刊,145,2-7.
Bishop, A. J.(譚 君譯,民80). 學視覺化教育的文獻分析.科學教育月
刊,145,8-17.
繕榜(2000).國中 學資優生尺規作圖表現之探討.台 市:國 台灣
師范大學碩士 文(未出版).

『貳』 小學幾何課程設計的突出特點

小學幾何學來習的主要目標可自以描述為：使學生獲得有關線、角、簡單平面圖形和立體圖形的知覺映象；使學生能建立有關長度、面積或體積等的基本概念；能夠對不太遠的物體間的方位、距離和大小有較正確的估計；能從較復雜的圖形中辨別有各種特徵的圖形。

『叄』 淺談學習"圖形與幾何"中怎樣發展學生的幾何直觀

數學是研究數量關系和空間形式的科學。在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。直觀與推理是＂圖形與幾何＂學習中的兩個重要方面，提高學生的觀察能力、抽象成數學模型能力和空間想像能力對學生＂圖形與幾何＂的學習具有重要作用。重視教學與學生的生活實際相聯系，將實際問題抽象成數學模型；加強引導學生對幾何圖形的觀察與動手操作，培養學生的幾何直觀；運用探究式學習方式，達到構建新的認知結構，培養學生的幾何直觀習慣；還要注重培養學生用自己的語言表述對幾何問題的直觀感受。

『肆』 幾何圖形與幾何體的區別，請一一說明

簡單地說，幾何體與幾何圖形的區別在於幾何體有長短、寬窄和高低，是三維立體圖形，幾何圖形只有長短和寬窄，是二維平面圖形。將平面圖形與相應的幾何體比較既加深了對平面圖形的認識，又突出了幾何體的特徵。

『伍』 圖形與幾何是什麼

幾何是研究（圖形的）空間結構及性質的一門學科。

『陸』 小學學習「圖形與幾何」的問題及原因分析

小學主要是概念吧，還有一些簡單的計算公式

『柒』 「圖形與幾何」中的相同點和不同點

1相同點：圓柱和圓台的上面和下面都是圓形且兩個面平行；不同點：圓柱兩個面大小相同，側邊垂直地面從正面看是一個矩形，圓台就是上面小下面大從正面看是一個梯形。

2相同點：稜柱和梯形柱也是上面和下面平行且每個側面面積都相等；不同點：稜柱的側邊垂直地面延長側邊不會相交且互相平行，上下面積也相等，梯形柱延長側邊會相交於一個點，面積上小下大。