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二、探索性問題
近年來，隨著社會主義經濟建設的迅速發展，要求學校由「應試教育」向「素質教育」轉化，培養全面發展的開拓型、創造型人才。在這種要求下，數學教學中開放型問題隨之產生。於是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點問題，它既是高等學校選拔高素質人材的需要，也是中學數學教學培養學生具有創造能力、開拓能力的任務所要求的。實際上，學生在學習數學知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學生應該學習和掌握的，是今後數學教育的重要方向。
一般地，對於雖給出了明確條件，但沒有明確的結論，或者結論不穩定，需要探索者通過觀察、分析、歸納出結論或判斷結論的問題（探索結論）；或者雖給出了問題的明確結論，但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件並加以證明的問題（探索條件），稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結論相應發生的變化；或者改變結論，探討條件相應發生的變化；或者給出一些實際中的數據，通過分析、探討解決問題。
探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。
猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結論時，需要從特殊情況入手，進行猜想後證明其猜想的一般性結論。它的思路是：從所給的條件出發，通過觀察、試驗、不完全歸納、猜想，探討出結論，然後再利用完全歸納理論和要求對結論進行證明。其主要體現是解答數列中等與n有關數學問題。
存在型問題是指結論不確定的問題，即在數學命題中，結論常以「是否存在」的形式出現，其結果可能存在，需要找出來，可能不存在，則需要說明理由。解答這一類問題時，我們可以先假設結論不存在，若推論無矛盾，則結論確定存在；若推證出矛盾，則結論不存在。代數、三角、幾何中，都可以出現此種探討「是否存在」類型的問題。
分類討論型問題是指條件或者結論不確定時，把所有的情況進行分類討論後，找出滿足條件的條件或結論。此種題型常見於含有參數的問題，或者情況多種的問題。
探索性問題，是從高層次上考查學生創造性思維能力的新題型，正確運用數學思想方法是解決這類問題的橋梁和向導，通常需要綜合運用歸納與猜想、函數與方程、數形結合、分類討論、等價轉化與非等價轉化等數學思想方法才能得到解決，我們在學習中要重視對這一問題的訓練，以提高我們的思維能力和開拓能力。
Ⅰ、再現性題組：
1.是否存在常數a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數n都成立？並證明你的結論。 （89年全國理）
2.已知數列，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，並用數學歸納法證明。 （93年全國理）
【簡解】1題：令n＝1、2、3代入已知等式列出方程組，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜測a、b、c的值對所有的n∈N都成立，再運用數學歸納法進行證明。（屬於是否存在型問題，也可屬於猜想歸納型問題）
2題：計算得到S＝、S＝、S＝、S＝，觀察後猜測S＝，再運用數學歸納法進行證明。
Ⅱ、示範性題組：
【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k為實數，對於不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類型，並畫出曲線簡圖。（78年全國高考題）
【分析】由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結合方程kx＋y＝4的特點，對參數k分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況進行討論。
【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況討論如下：
① 當k>1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在y軸上，a＝2，b＝;
② 當k＝1時，表示圓，圓心在原點，r＝2；
③ 當0<k<1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在x軸上，a＝，b＝2；
④ 當k＝0時，表示兩條平行直線 y＝±2；
⑤ 當k<0時，表示雙曲線，中心在原點，焦點在y軸上。
y y y y y x x x x x
所有五種情況的簡圖依次如下所示：
【注】分類討論型問題，把所有情況分類討論後，找出滿足條件的條件或結論。
【例2】給定雙曲線x－＝1， ① 過點A(2,0)的直線L與所給雙曲線交於P及P，求線段PP的中點P的軌跡方程； ② 過點B(1,1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交於兩點Q、Q，且點B是線段Q、Q的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。（81年全國高考題）
【分析】兩問都可以設直線L的點斜式方程，與雙曲線方程聯立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點坐標，再用韋達定理求解中點坐標等。
【解】① 設直線L：y＝k(x－2)
∴ 消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0
∴ x＋x＝ ∴x＝ 代入直線L得：y＝
∴ 消k得2x－4x－y＝0即－＝1
線段PP的中點P的軌跡方程是：－＝1
② 設所求直線m的方程為：y＝k(x－1)＋1
∴ 消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0
∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2
代入消y後的方程計算得到：△<0， ∴滿足題中條件的直線m不存在。
【注】本題綜合性比較強，將解析幾何知識進行了橫向綜合。對於直線與曲線的交點問題和有關交點弦長及其中點的問題，一般可以利用韋達定理和根的判別式求解。本題屬於存在型問題，其一般解法是：假設結論不存在，若推論無矛盾，則結論確定存在；若推證出矛盾，則結論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了關鍵作用。這類問題一般是先列出條件組，通過等價轉化解組。
【例3】設{a}是正數組成的數列，其前n項的和為S，並且對於所有的自然數n，a與2的等差中項等於S與2的等比中項。 ① 寫出數列{a}的前3項； ② 求數列{a}的通項公式（寫出推證過程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。(94年全國高考題)
【分析】由題意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通過觀察猜想a，再用數學歸納法證明。求出a後，代入不難求出b，再按照要求求極限。
【解】① ∵ ＝＝ ∴ a＝2
∵ ＝＝＝ ∴ a＝6
∵ ＝＝＝ ∴a＝10
所以數列{a}的前3項依次為2、6、10。
② 由數列{a}的前3項依次為2、6、10猜想a＝4n－2，
下面用數學歸納法證明a＝4n－2：
當n＝1時，通項公式是成立的；
假設當n＝k時結論成立，即有a＝4k－2，
由題意有＝,將a＝4k－2代入得到：S＝2k；
當n＝k＋1時，由題意有＝＝
∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0
由a>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1時，結論也成立。
綜上所述，上述結論對所有的自然數n都成立。
③ 設c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）
＝[（－1）＋(－1)]＝－
b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－
∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1
【注】本題求數列的通項公式，屬於猜想歸納型問題，其一般思路是：從最簡單、最特殊的情況出發，推測出結論，再進行嚴格證明。第③問對極限的求解，使用了「裂項相消法」，設立新的數列c具有一定的技巧性。
此外，本題第②問數列通項公式的求解，屬於給出數列中S與a的函數關系式求a，對此類問題我們還可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的關系轉化為數列通項之間的遞推關系，再發現數列的特徵或者通過構造新的數列求解。具體的解答過程是：
由題意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)，
∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]
整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0
由題意a>0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4
∴數列{a}為等差數列，其中a＝2，公差d＝4，即通項公式為a＝4n－2。
【例4】已知x>0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比較x與x的大小。(86年全國理)
【分析】比較x與x的大小，採用「作差法」，判別差式的符號式，分情況討論。
【解】x－x＝－x＝
由x>0及數列{x}的定義可知，x>0，所以x－x與1－x的符號相同。
假定x<1，當n＝1時，1－x>0；假設n＝k時1－x>0，那麼當n＝k＋1時，
1－x＝1－[]＝>0，因此對一切自然數n都有1－x>0,即x<x。
假定x>1，當n＝1時，1－x<0；假設n＝k時1－x<0，那麼當n＝k＋1時，
1－x＝1－[]＝<0，因此對一切自然數n都有1－x<0,即x<x。

所以，對一切自然數n都有x<x。
【注】本題對1－x的符號的探討，由於其與自然數n有關，考慮使用數學歸納法解決。一般地，探索性問題與自然數n有關時，我們可以用歸納→猜想→證明的方法解出。
Ⅲ、鞏固性題組：
1. 設{a}是由正數組成的等比數列，S是前n項和。 ①. 證明： <lgS； ②.是否存在常數c>0，使得<lg（S－c）成立？並證明你的結論。(95年全國理)
2.已知數列{b}是等差數列，b＝1，b＋b＋…＋b＝100。
①.求數列{b}的通項； ②.設數列{a}的通項a＝lg(1＋)，記S是數列{a}的前n項和，試比較S與lgb的大小，並證明你的結論。（98年全國高考題）
3.是否存在a、b、c，使得a＝an＋bn＋c，且滿足a＝1,3S＝(n＋2)a，對一切自然數n都成立（其中S＝a＋a＋…＋a）？試證明你的結論。
4.已知P＝(1＋x)，Q＝1＋nx＋x，n∈N，x∈(-1,+∞)，比較P和Q的大小。
5.已知數列{a}滿足關系式a＝a (a>0)，a＝ (n≥2，n∈N)。
① 用a表示a、a、a； ② 猜想a的表達式，並證明你的結論。

A y B O C x
6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且b、a、c成等差數列，b≥c。已知B(-1,0)、C(1,0)。
① 求頂點A的軌跡L；
② 是否存在直線m，使m過點B並與曲線L交於不同的兩點P、Q且|PQ|恰好等於原點O到直線m距離的倒數？若存在，求出m的方程；若不存在，說明理由。

P N B M AC D
7.如圖，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點。
求證：MN⊥AB；
② 若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為θ，能否確定θ，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線？若能確定，求出θ的值；若不能確定，說明理由。

三、選擇題解答策略
近幾年來高考數學試題中選擇題穩定在14～15道題，分值65分，占總分的43.3%。高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數學思想和方法，體現基礎知識求深度的考基礎考能力的導向;使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區分度的基本題型。因此能否在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大。解答選擇題的基本策略是准確、迅速。
准確是解答選擇題的先決條件。選擇題不設中間分，一步失誤，造成錯選，全題無分。所以應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏；初選後認真檢驗，確保准確。
迅速是贏得時間獲取高分的必要條件。高考中考生不適應能力型的考試，致使「超時失分」是造成低分的一大因素。對於選擇題的答題時間，應該控制在不超過50分鍾左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1～3分鍾內解完。
選擇題主要考查基礎知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的准確、基本方法的運用、考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面，是否達到《考試說明》中的「了解、理解、掌握」三個層次的要求。歷年高考的選擇題都採用的是「四選一」型，即選擇項中只有一個是正確的。它包括兩個部分：題干，由一個不完整的陳述句或疑問句構成；備選答案，通常由四個選項A、B、C、D組成。
選擇題的特殊結構決定了它具有相應的特殊作用與特點：由於選擇題不需寫出運算、推理等解答過程，在試卷上配有選擇題時，可以增加試卷容量，擴大考查知識的覆蓋面；閱卷簡捷，評分客觀，在一定程度上提高了試卷的效度與信度；側重於考查學生是否能迅速選出正確答案，解題手段不拘常規，有利於考查學生的選擇、判斷能力；選擇支中往往包括學生常犯的概念錯誤或運算、推理錯誤，所有具有較大的「迷惑性」。
一般地，解答選擇題的策略是：① 熟練掌握各種基本題型的一般解法。② 結合高考單項選擇題的結構（由「四選一」的指令、題乾和選擇項所構成）和不要求書寫解題過程的特點，靈活運用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。③ 挖掘題目「個性」，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇。
Ⅰ、示範性題組：
直接法：
直接從題設條件出發，運用有關概念、性質、定理、法則等知識，通過推理運算，得出結論，再對照選擇項，從中選正確答案的方法叫直接法。
【例1】（96年高考題）若sinx>cosx,則x的取值范圍是______。
A．{x|2k－<x<2k＋,kZ} B. {x|2k＋<x<2k＋,kZ}
C. {x|k－<x<k＋,kZ} D. {x|k＋<x<k＋,kZ}

【解】直接解三角不等式：由sinx>cosx得cosx－sinx<0,即cos2x<0，所以： ＋2kπ<2x<＋2kπ，選D；
【另解】數形結合法：由已知得|sinx|>|cosx|，畫出單位圓：

利用三角函數線，可知選D。
【例2】（96年高考題）設f(x)是(－∞，∞)是的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等於______。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B。
也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。
【例3】（87年高考題）七人並排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那麼不同的排法的種數是_____。
A. 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800
【解一】用排除法：七人並排站成一行，總的排法有P種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×P種。因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數有：P－2×P＝3600,對照後應選B；
【解二】用插空法：P×P＝3600。
直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解。直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案。提高直接法解選擇題的能力，准確地把握中檔題目的「個性」，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握「三基」的基礎上，否則一味求快則會快中出錯。
特例法：
用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確判斷的方法叫特例法。常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等。
【例4】(97年高考題)定義在區間(-∞，∞)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間[0,+∞）的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)<g(a)－g(-b);③f(a)－f(-b)>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)<g(b)－g(-a).其中成立的是（ ）
A. ①與④ B. ②與③ C. ①與③ D. ②與④
【解】令f(x)＝x，g(x)＝|x|，a＝2，b＝1,則：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正確；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正確。所以選C。
【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，從而①式正確；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，從而③式正確。所以選C。
【例5】（85年高考題）如果n是正偶數，則C＋C＋…＋C＋C＝______。
A. 2 B. 2 C. 2 D. (n－1)2
【解】用特值法：當n＝2時，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；當n＝4時，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D。所以選B。
【另解】直接法：由二項展開式系數的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B。
當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得愈簡單愈好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律，是解答本類選擇題的最佳策略。近幾年高考選擇題中可用或結合特例法解答的約佔30％左右。
篩選法:
從題設條件出發，運用定理、性質、公式推演，根據「四選一」的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確判斷的方法叫篩選法或剔除法。
【例6】（95年高考題）已知y＝log(2－ax)在[0,1]上是x的減函數，則a的取值范圍是_____。
A. [0,1] B. (1,2] C. (0,2) D. [2,+∞)
【解】∵ 2－ax是在[0,1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x<1，這與[0,1]不符合，排除答案C。所以選B。
【例7】（88年高考題）過拋物線y＝4x的焦點，作直線與此拋物線相交於兩點P和Q，那麼線段PQ中點的軌跡方程是______。
A. y＝2x－1 B. y＝2x－2 C. y＝－2x＋1 D. y＝－2x＋2
【解】篩選法：由已知可知軌跡曲線的頂點為(1,0)，開口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B；
【另解】直接法：設過焦點的直線y＝k(x－1)，則，消y得：
kx－2(k＋2)x＋k＝0,中點坐標有，消k得y＝2x－2，選B。
篩選法適應於定性型或不易直接求解的選擇題。當題目中的條件多於一個時，先根據某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇。它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約佔40％。
代入法：
將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確判斷的方法叫代入法，又稱為驗證法，即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應選的答案。
【例8】（97年高考題）函數y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是_____。
A． B. C. 2 D. 4
【解】代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而
f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x)。所以應選B；
【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，選B。
【例9】（96年高考題）母線長為1的圓錐體積最大時，其側面展開圖的圓心角等於_____。
A. B. C. D.
【解】代入法：四個選項依次代入求得r分別為：、、、，再求得h分別為：、、、，最後計算體積取最大者，選D。